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Ya esta la demostración del problema que puse hace un rato.

Teoría de Grupos: ejercicio 3-08 (pdf) 

Esta demostración salió gracias a los ejercicios que se encuentran El paraíso de las Matemáticas, en la programoteca > asignaturas > teoría de grupos (ejercicios).

 Si no quieres bajar el pdf acá esta en png Teoría de Grupos: ejercicio 3-08 (1) y Teoría de Grupos: ejercicio 3-08 (2).

UPDATE: He modificado el archivo para hacerlo legible (iba a poner más, pero creo que ni siquiera lo era). Los enlaces son los mismos.

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Pues sí, es el gran problema que tengo con el álgebra (teoría de grupos). No el llorar, sino que no se me ocurre como resolver algunos problemas (por desgracia que son la mayoría en los exámenes).

Si G es un grupo que no tiene subgrupos no triviales (pudiendo decir que solo tiene subgrupos triviales), demuestre que G es finito de orden primo.

Ya estube un rato tratando pero nomás no (no estoy en la matrix de álgebra). Les cuento un poco lo que he hecho:

  • Supongamos que no es finito, entonces tengo que encontrar subgrupos diferentes de los triviales ({e} y G) esto me llevaría al absurdo pero no sé como juntar las dos ideas.
  • Si el orden del grupo no es primo, entonces tengo que encontrar otros subgrupos (parecido al razonamiento anterior).

El problema es que no se me ocurre ninguno de los dos. Lo que podría hacer es demostrar que G es cíclico (esta en los ejercicios de grupos cíclicos) pero eso no se me ocurre como pueda ocuparlo.

¿Puedo llorar?

Update

Ya va para una semana y no puedo resolver esto. En primera encontre algunas soluciones de estas pero me revuelven mucho. Hasta este momento he encontrado los pasos a seguir para demostrar esto (gracias a Jaime que me forzo a no correr con una idea falsa). Para resolverlo se tiene que hacer esto:

  • Demostrar que G es cíclico. ¿Por qué? En primera porque esta en la sección de grupos cíclicos (y eso da la idea), en segunda porque la cíclicidad del grupo es la base para lo que sigue. Suponer que G no es cíclico. Entonces existe a que pertenece a G tal que a ≠ e. ‹a› es un subgrupo de G y además ‹a› ≠ {e} y ‹a› ≠ G (por que no es cíclico) lo cual contradice la hipotésis de los únicos subgrupos de G. Por lo tanto G es cíclico.
  • Ahora mostrar que un grupo que tiene un número finito de subgrupos es finito.
  • Y demostrar que es primo.

He empezado a estudiar, cosa lo que dos meses de vacaciones y un trabajo del que no soy fan no lograrón comparado con el paso de 3 días después de haber visto al amor de mi vida (hay que tierno, pinche joto =).

Jajaja, pero esto no ha sido muy fácil, el problema ahora es determinar los subgrupos de un grupo. Ok, hay un teorema que me ayuda para saber que el orden de los subgrupos divide el orden del grupo (el Teorema de Lagrange), pero no me ayuda a determinar cuales son esos grupos.

Sea el grupo de simetrías del cuadrado (una mariguanada), de este grupo debo de determinar dos grupos de 4 elementos (uno de estos es el problema) y cuatro de 2 elementos (estos son fáciles). Como soy un flojo de primera me da flojera hacer prueba y error, así que espero pronto encontrar como se hace esto (si hay solución y no es más pesada que hacerlo de prueba y error).

Los mantendré informados.

La verdad es que no encuentro la motivación para estudiar de Algebra I (después de mi 3.0) y se acerca el siguiente examen. También debo estudiar de Comunicación Social porque el 27 (o 28) de febrero es mi examen y no sé como será porque en esa materia no es definiciones y ejercicios, sino mas bien de leer mucho y desarrollar las ideas (o eso pienso yo).

Resulta que me gustaron mucho las mini-vacaciones, aunque no hice nada relacionado con la escuela (o con otra cosa que no sea descansar). Y esta semana ha llegado mi primer tropiezo de este trimestre: obtuve un 3.0 en mi primer examen de algebra (bubububu) y ahora me debo de apurar para pasarla. Siguiendo con temas escolares ayer tuve un examen de Introducción al Diseño de Base de Datos y la verdad no sé como me fue, porque siento que mis diseños (entidades asociaciones) son malos.

Cambiando de tema debo de empezar a concretar lo que quiero en mi vida así que esto me servirá para hacer la lista de esas cosas:

  • Subir mi promedio de la escuela.
  • Estudiar inglés.
  • Empezar a buscar información (y leer) acerca de computación cuántica.
  • Estudiar de XML, Javascript, PHP, ASP.NET, C# y C++.
  • Hacer ejercicio.
  • Estudiar francés.
  • Conseguir novia.

No sé si falta algo, pero es lo que se me ocurre. Mientras empiezo de lleno con cada uno de los puntos que me hacen falta voy a mencionar un miniproyecto en el que participare: desarrollo de un foro para la página de un amigo (www.petshopboysmexico.com) y aunque ya contrato hosting (y pago lo de su dominio) no ha hecho nada.