Pues sí, es el gran problema que tengo con el álgebra (teoría de grupos). No el llorar, sino que no se me ocurre como resolver algunos problemas (por desgracia que son la mayoría en los exámenes).

Si G es un grupo que no tiene subgrupos no triviales (pudiendo decir que solo tiene subgrupos triviales), demuestre que G es finito de orden primo.

Ya estube un rato tratando pero nomás no (no estoy en la matrix de álgebra). Les cuento un poco lo que he hecho:

  • Supongamos que no es finito, entonces tengo que encontrar subgrupos diferentes de los triviales ({e} y G) esto me llevaría al absurdo pero no sé como juntar las dos ideas.
  • Si el orden del grupo no es primo, entonces tengo que encontrar otros subgrupos (parecido al razonamiento anterior).

El problema es que no se me ocurre ninguno de los dos. Lo que podría hacer es demostrar que G es cíclico (esta en los ejercicios de grupos cíclicos) pero eso no se me ocurre como pueda ocuparlo.

¿Puedo llorar?

Update

Ya va para una semana y no puedo resolver esto. En primera encontre algunas soluciones de estas pero me revuelven mucho. Hasta este momento he encontrado los pasos a seguir para demostrar esto (gracias a Jaime que me forzo a no correr con una idea falsa). Para resolverlo se tiene que hacer esto:

  • Demostrar que G es cíclico. ¿Por qué? En primera porque esta en la sección de grupos cíclicos (y eso da la idea), en segunda porque la cíclicidad del grupo es la base para lo que sigue. Suponer que G no es cíclico. Entonces existe a que pertenece a G tal que a ≠ e. ‹a› es un subgrupo de G y además ‹a› ≠ {e} y ‹a› ≠ G (por que no es cíclico) lo cual contradice la hipotésis de los únicos subgrupos de G. Por lo tanto G es cíclico.
  • Ahora mostrar que un grupo que tiene un número finito de subgrupos es finito.
  • Y demostrar que es primo.
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